Rendimenti e duration dei bond: cosa sono, come calcolarli e a cosa servono

Il concetto di rendimento è fondamentale nel mondo finanziario. Ecco come si applica alle obbligazioni e come si interseca con altri elementi chiave quali la duration, i tassi e la convexity (convessità). Segue un focus sulla curva dei rendimenti, strumento cruciale nell'analisi finanziaria che offre una rappresentazione grafica dei rendimenti dei titoli obbligazionari in funzione della loro duration. La comprensione di come svariati fattori influenzano la curva dei rendimenti è essenziale per prendere decisioni informate sugli investimenti obbligazionari.

Indice

1. Come viene calcolato esattamente il rateo interessi? Cosa sono i dietimi?
2. Come si determina il valore di un bond?
3. Come viene calcolato il rendimento effettivo di un bond? Cosa significa YTM?
4. Perché è fuorviante la scorciatoia del rendimento immediato?
5. Cos’è la duration e qual è differenza rispetto alla vita residua?
6. Come si calcola la duration?
7. Cos’è la modified duration?
8. Quando duration e modified duration funzionano poco?
9. Come si costruisce la curva dei rendimenti?
10. Cosa provoca cambiamenti nella curva dei rendimenti?
11. La curva base dei rendimenti è per Paese o per valuta?
12. Perché ci sono così tante curve dei rendimenti?
13. Cos’è la convexity?

1. Come viene calcolato esattamente il rateo interessi? Cosa sono i dietimi?

L’importo da aggiungere alla quotazione “al corso secco” per arrivare al prezzo tel quel, che rappresenta il valore finito di compravendita, corrisponde al rateo interessi; quindi, una volta definito il rateo interessi, sarà sufficiente moltiplicare il prezzo tel quel/100 per il valore nominale posseduto, o oggetto di compravendita, per quantificare l’entità monetaria del rateo cedole.

Tutto parte quindi dalla determinazione del rateo interessi e il relativo processo di calcolo passa attraverso due strade leggermente differenti.

Quando la convenzione dietimi è su base annuale (es. Actual/360 o Actual/365, oppure Actual/Actual su base annuale quando è espressamente indicato) il rateo interessi è dato da:

Rateo interessi = tasso nominale x convezione dietimi

Quando invece la convenzione di calcolo dietimi è su base periodale (cioè Actual/Actual, se non indicato diversamente) il rateo interessi è il seguente, perché prima va calcolato anche il tasso periodale:

Rateo interessi = tasso periodale x convenzione dietimi

Tasso periodale: nel caso di Btp e Bt€i, per esempio, è dato a sua volta dalla convenzione 30/360 (da non confondere con la convenzione dietimi che riguarda il trascorrere del tempo) in riferimento all’attribuzione del tasso nominale annuo a ciascuna cedola. Si parla quindi di tasso periodale quando un bond stacca più cedole nel corso dell’anno e tale tasso rimarrà naturalmente immutato per tutta la durata della cedola in corso, o per tutta la vita del titolo se questo è a tasso fisso.

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Esempio: per i Btp e Btp€i la convenzione 30/360 per l’attribuzione delle cedole indica che tutti i mesi sono supposti di 30 gg. e l’anno di 360, perciò il tasso periodale relativo ai due titoli stato a cedola semestrale è pari al tasso nominale moltiplicato per 6 x 30/360, ovvero va diviso per due.

Dietimi: a differenza del tasso periodale, che rimane uguale per tutto il periodo di godimento della cedola in corso dovendo indicare a quanto ammonterà al momento dello stacco, i dietimi crescono di giorno in giorno: con questo termine si intende, infatti, il rapporto tra il numero di giorni passati dall’ultimo stacco cedola (che aumenta di giorno in giorno per poi azzerarsi alla data di stacco) e il numero di giorni compresi tra il precedente stacco cedola e il prossimo stacco relativo alla cedola in corso (che rimane fisso poiché rappresenta l’intera durata di maturazione della cedola in corso). Quest’ultimo valore, che costituisce il denominatore del rapporto, può essere effettivamente calcolato nel modo puntuale descritto, nel qual caso assumerà anch’esso l’appellativo “Actual” (o “giorni effettivi”) e conseguentemente lo standard della convenzione dietimi sarà Actual/Actual (“Act/Act” o “gg. effettivi/gg. effettivi”), oppure può essere assunto come valore fisso per tutta la vita del titolo (365 o più comunemente 360) e conseguentemente lo standard della convenzione dietimi sarà Act/365 o Act/360.

I Btp e Btp€i, per esempio, seguono la prassi europea Act/Act e quindi i dietimi di ogni giorno si ottengono dividendo il numero di giorni passati dall’ultimo stacco cedola per i giorni effettivi di durata del semestre cedolare in corso.

Esempio: se fossero passati 91 gg. dall’ultimo stacco e la piena maturazione della cedola in corso durasse 182 gg. per un Btp a fisso del 4%, i dietimi di quel giorno sarebbero pari 0,5 (dato da 91/182). Ma ciò non basta poiché, essendo la convenzione Act/Act intesa su base periodale, anche il tasso nominale va trasformato su base periodale, secondo la convenzione specifica 30/360, prima di poter calcolare il rateo cedola, cioè: 4% x 30/360 x 6 mesi di maturazione della cedola, pari quindi al 2% di tasso cedolare. Ora si può determinare il rateo interessi di quel giorno: 2% x 0,5, ovvero 1%.

Diversamente, per i CctEu la convenzione dietimi è Actual/360 (che è sempre su base annuale) e perciò non occorre la trasformazione del tasso nominale per determinare il rateo interessi, visto che il tasso nominale viene anch’esso espresso sempre su base annua. Assumendo l’esempio appena fatto per il Btp, se fosse riferito a un CctEu il relativo rateo interessi sarebbe pari a: 4% x 91/360, ovvero 1,01%.

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2. Come si determina il valore di un bond?

Il valore di una qualsiasi obbligazione è dato da:

• Il piano delle cedole future, che riporti il tasso periodale (es. 2 se tale tasso è del 2%) per ogni data di stacco a venire. Se le cedole sono variabili, per semplicità spesso si assume il tasso periodale di tutte le cedole future uguale a quello della cedola in corso, oppure di quella successiva (metodo della “cedola tendenziale”) non appena viene effettuata la rilevazione ufficiale del parametro di indicizzazione e viene quindi definito il tasso periodale relativo alla prossima cedola; ciò non può valere per gran parte delle obbligazioni strutturate, per le quali l’unica strada percorribile passa dalla simulazione Montecarlo.
• Il prezzo di rimborso, spesso alla pari (100), o il prezzo di vendita in caso di disinvestimento prima della scadenza.
• Il tasso di attualizzazione dei flussi monetari futuri derivanti dagli ultimi due punti, perché il loro valore attuale è diverso da quello futuro relativo al momento in cui si concretizzeranno: 100 euro incassati oggi, per esempio, varranno infatti 104 euro tra un anno, cioè 100 x 1,04 se fossero investiti a un tasso d’interesse del 4% (annuo); analogamente, 104 euro che si incasseranno tra un anno valgono oggi 100 euro considerando un tasso d’interesse del 4%, cioè 104 / 1,04. Questo tasso d’interesse è il tasso di attualizzazione.

In base a questi tre elementi, il valore attuale di un’obbligazione in termini di “prezzo tel quel”, comprensivo quindi del rateo cedola da corrispondere al venditore se il “godimento cedola” è già iniziato, è dato dalla somma dei valori attualizzati dei flussi monetari futuri, ovvero dalla sommatoria di:

VA_t = F_t / [ (1 + i)^t ]

dove:

• VA_t = valore attuale del flusso di cassa F_t
• t = differenza, espressa in anni e frazioni di anno (es. 3,5 equivale a tre anni e mezzo), ottenuta dividendo per 365 o più frequentemente per 360 la differenza in termini di giorni fra la data in cui si manifesterà il flusso Ft e la data alla quale si intende attualizzare il flusso stesso (pari a oggi per ottenere il valore corrente del bond comprensivo del rateo cedola).
• i = tasso d’interesse annuo in base al quale vengono attualizzati tutti i flussi di cassa futuri

È importante notare che il valore di qualsiasi titolo obbligazionario, oltre a dipendere ovviamente dalla dimensione dei flussi di cassa futuri, risulta tanto più alto quanto più basso è il tasso di attualizzazione. E viceversa. Ciò spiega perché il valore, e quindi il prezzo dei bond, si muove in modo opposto rispetto al tasso (cioè al rendimento) richiesto dal mercato per analoga scadenza, valuta, standing di credito (rating) e seniority; tant’è che si implementasse nella formula quest’ultimo rendimento (di mercato) come tasso di attualizzazione “i”, si otterrebbe un valore attuale netto pari al prezzo “tel quel” corrente dell’obbligazione che, detratto il rateo cedola, corrisponderebbe al corso secco quotato sul mercato.

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3. Come viene calcolato il rendimento effettivo di un bond? Cosa significa YTM?

Il rendimento di un bond deve esprimere, nel modo più opportuno, la misurazione di tutti i relativi proventi di cui beneficerà l’investitore rapportati all’investimento iniziale; il tutto espresso su base percentuale annua, cioè nella medesima base con cui vengono indicati in tutto il mondo i tassi d’interesse e i rendimenti relativi ai mercati obbligazionari.

Il modo più opportuno per calcolare il rendimento di un titolo obbligazionario è quello connesso alla determinazione del suo valore corrente comprensivo del rateo cedola, cioè il prezzo “tel quel”, attraverso l’attualizzazione di tutti i flussi di cassa futuri (cedole e valore di rimborso a scadenza). Si tratta del valore attuale netto affrontato nella risposta precedente, ma in questo caso, dovendo determinare il rendimento annuo anziché il valore attuale netto (che è noto e corrisponde al prezzo “tel quel” di acquisto sul mercato o al prezzo di sottoscrizione se il bond è di nuova emissione), l’incognita da valorizzare si sposta sul tasso di attualizzazione:

qual è il valore di questo tasso (di attualizzazione) che rende uguale la somma attualizzata dei flussi di cassa futuri con il prezzo “tel quel” al quale è possibile acquistarlo sul mercato secondario, oppure con il prezzo di emissione se il bond è in fase di collocamento sul mercato primario?

Il tasso di attualizzazione che soddisfa questa uguaglianza viene chiamato rendimento effettivo a scadenza, o “yield to matutity” (in breve “YTM”), o semplicemente rendimento effettivo oppure rendimento a scadenza. Questo rendimento è nativamente espresso su base percentuale annua e tiene conto non solo di tutte le componenti che riguardano l’investimento (esborso iniziale, incassi futuri da cedole e valore di rimborso), ma anche della maggiore o minore lontananza nel tempo con cui si manifesteranno rispetto all’esborso iniziale. In sostanza, il rendimento effettivo deve essere associato (oltre al rating dell’emittente, alla valuta di denominazione del bond e alla relativa “seniority”) alla vita residua dell’obbligazione, o meglio sulla sua durata finanziaria (duration) come si vedrà nella risposta successiva, per poter essere efficacemente confrontato con i rendimenti correnti espressi dal mercato per titoli, appunto, analoghi.

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Non essendo praticabile la strada della formulazione matematica per risolvere l’equazione di grado “t in termini di “i”, dove “t” è la distanza in numero di anni (e frazione di anno) in cui si manifesterà l’ultimo flusso di cassa e “i” è il tasso di attualizzazione, la soluzione più pratica per calcolare il rendimento effettivo arriva da Excel: TIR.X (intervallo_1; intervallo_2) è l’apposita funzione di calcolo, all’interno della quale occorre specificare due intervalli di celle: a) l’intervallo che contiene tutti i flussi di cassa futuri (cedole e rimborso a scadenza) e quello con segno meno (perché è un’uscita di cassa) relativo al prezzo di acquisto (prezzo “tel quel”, ottenuto sommando il “prezzo secco” relativo alla quotazione corrente sul mercato con il rateo cedola), che va messo al primo posto perché costituisce il flusso più recente; b) l’intervallo che contiene le relative date di manifestazione, una per ogni flusso di cassa, ordinate nella stessa sequenza dei flussi stessi.

4. Perché è fuorviante la scorciatoia del rendimento immediato?

Il rendimento immediato di un’obbligazione è dato semplicemente dal rapporto tra il tasso d’interesse (espresso su base annua) su cui è basata la cedola in corso, o se disponibile quella tendenziale per i tradizionali bond a tasso variabile, e il prezzo corrente espresso dal mercato (“corso secco”, senza quindi aggiungere il rateo cedola).

Esempio: un bond con cedola 5% che quota 100 ha un rendimento immediato del 5%, mentre se quotasse 104 il rendimento immediato scenderebbe a 4,8%

Dall’esempio traspare subito che alla semplicità di calcolo si contrappongono numerosi limiti:

• non tiene conto del prezzo di rimborso a scadenza e quindi del guadagno o della perdita in conto prezzo che registrerebbe l’investitore: nell’esempio si tratterebbe di una minusvalenza superiore al 4% in caso di rimborso alla pari (100), come avviene quasi sempre. Quindi, il rendimento viene sovrastimato quando la quotazione è sopra la pari e risulta sottostimato quando il bond quota sotto la pari.
• Non tiene conto di piani cedola meno tradizionali, per esempio quelli che prevedono cedole crescenti (bond di tipo “step-up” come Btp Futura e Btp Valore) oppure decrescenti (“step-down”), o premi di fedeltà a scadenza.
• Non può essere applicato a bond di tipo zero coupon, per esempio i Bot, non avendo alcuna cedola.

5. Cos’è la duration e qual è differenza rispetto alla vita residua?

Esistono due modi per misurare la durata di un impiego obbligazionario: il primo, più semplice, consiste nel calcolare quanto giorni mancano alla scadenza, ovvero al rimborso del valore nominale del titolo. Questa misurazione, espressa in anni e frazione di anno (numero di giorni alla scadenza/365), prende il nome di vita residua dell’obbligazione. All’estrema semplicità di calcolo e di lettura si contrappone però una valenza operativa molto scarsa, visto che non tiene conto della diversa manifestazione nel tempo di tutti i flussi di cassa generati dall’investimento, a partire dalle cedole.

Un’altra misurazione, invece, risulta molto più utile in termini operativi: si tratta della durata finanziaria dell’obbligazione, in gergo anglosassone “duration”. Compito principale della duration è uniformare il calcolo della durata di ogni obbligazione a quella che sarebbe se la stessa fosse del tipo zero coupon, in modo da poter effettuare paragoni omogenei come avviene nel calcolo del rendimento effettivo, su cui tra l’altro è basata.

Tutti i prodotti obbligazionari vengono quindi riportati, attraverso l’elaborazione del rendimento effettivo e della duration, a una base omogenea di raffronto che li rende paragonabili tra loro in termini di rendimento associato a una certa duration, consentendo di rispondere alla seguente domanda:

un rendimento del 4% annuo di un bond con duration di 7,5 anni, per esempio, è adeguato?

Sì, se questo rendimento risulta molto vicino al rendimento espresso dal mercato in riferimento ad altri bond a cui può essere accostato, anche in termini di duration sufficientemente simili.

Per la rispettiva importanza operativa, il rendimento effettivo e la duration sono le variabili che si trovano, rispettivamente, sull’asse verticale e su quello orizzontale delle curve dei rendimenti, che indicano in ogni momento dove si attesta il rendimento di mercato per ogni durata finanziaria di obbligazioni confrontabili tra di loro (cioè di analoga valuta, seniority e possibilmente emittente).

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6. Come si calcola la duration?

La formula per la determinazione della durata finanziaria, di Frederick R. Macaulay, può apparire complicata a prima vista, ma in realtà è una semplice estensione del calcolo relativo al valore delle obbligazioni, affrontato pochissime risposte fa, tramite attualizzazione (VA) di tutti i flussi di cassa futuri. In modo simile, ogni cedola successiva al momento di acquisto, nonché il prezzo di rimborso, deve infatti essere trasformata nel seguente valore:

D_t = t x [ F_t / (1 +i )^t ] / P

dove l’unico elemento nuovo rispetto al calcolo del valore attuale (VA) si ritrova in:

• P = prezzo tel quel dell’obbligazione (quotazione secca corrente più il rateo interessi)

Tutte le altre variabili rimangono identiche, ovvero:

• F_t = flussi di cassa futuri, compreso il valore finale di rimborso (generalmente pari a 100);
• i = rendimento effettivo;
• t = giorni di differenza tra la manifestazione del flusso di cassa Ft e la data di rilevazione del prezzo tel quel P), differenza che va poi divisa per 365 o più frequentemente per 360.

La somma (D) di tutti i singoli flussi di cassa futuri trasformati in Dt, successivi cioè alla data di rilevazione del prezzo P, restituirà la duration dell’obbligazione, espressa in numero di anni e frazione di anno (3,5 anni corrisponde per esempio a 3 anni e 6 mesi).

Dalla formula della durata finanziaria deriva principalmente che:

1. fatta eccezione per gli zero coupon, in cui la duration è pari alla vita residua, quando il titolo prevede la distribuzione di cedole la duration è sempre inferiore alla vita residua;
2. la durata finanziaria si accorcia in corrispondenza di cedole nominali più elevate;  
3. fatta eccezione per le obbligazioni che pagano interessi nominali annui parecchio inferiori al rendimento effettivo, che accade quando il prezzo di acquisto è sensibilmente più basso del valore di rimborso, la duration risulta crescente man mano che aumenta la vita residua del bond;
4. la durata finanziaria diminuisce all’aumentare del rendimento effettivo.

7. Cos’è la modified duration?

La duration assolve a un altro compito di rilievo: consente di misurare il grado di esposizione dei bond al rischio tassi. Tale rischio, si ricorda, è connesso alla possibilità che durante la vita del titolo cambino anche in modo sensibile i rendimenti richiesti dal mercato per i bond di duration simile denominati nella medesima valuta: questo movimento dei rendimenti avviene tramite un movimento in senso opposto delle quotazioni, cioè viene innescato dagli acquisti (rialzo delle quotazioni) o dalle vendite (ribasso delle quotazioni) degli operatori che richiedono rispettivamente rendimenti più alti o più bassi; in sintesi, quando il prezzo aumenta il rendimento scende e viceversa, secondo una logica matematica già sottolineata nel calcolo del rendimento effettivo.

Ora è tempo di quantificare questa relazione, tenendo presente che la variazione percentuale dei prezzi per ogni variazione percentuale unitaria di rendimento sarà tanto più ampia quanto maggiore è la duration del titolo: infatti, l’investimento risulta esposto per un lasso di tempo progressivamente maggiore all’eventuale aumento dei rendimenti, venendo sempre più penalizzato in termini di valore risultante dalla formula di attualizzazione (VA) dei flussi di cassa futuri. Questo deprezzamento del bond è quantificabile con sufficiente precisione attraverso la formula di Hopwell e Kaufmann, che misura di quanto deve scendere o salire la quotazione dell’obbligazione per eguagliare una determinata variazione, rispettivamente positiva o negativa, dei rendimenti di mercato:

Var. % Prezzo = var. % Rend. eff. x [ - Duration / (1 + Rend. eff.) ]

dove:

Duration / (1 + Rend. eff.) = Modified duration

Dunque, nell’ambito di un rischio emittente analogo, a parità di rendimento effettivo si sceglierà il titolo con durata finanziaria più bassa e dunque con un rischio tassi inferiore, mentre a parità di duration si sceglierà l’obbligazione con rendimento effettivo più elevato.

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8. Quando duration e modified duration funzionano poco?

Analogamente al rendimento effettivo, la duration e la modified duration restituiscono i risultati più precisi sulle obbligazioni a tasso fisso, o comunque totalmente predeterminati all’atto dell’emissione (es. bond di tipo step-up o step-down) o al momento dell’acquisto, e naturalmente sui bond di tipo zero-coupon.

Nel caso invece dei titoli a tasso variabile, ovvero quelli le cui cedole sono indicizzate in modo lineare ai tassi d’interesse o all’inflazione, si incontrano le stesse limitazioni esistenti nella determinazione del rendimento effettivo: per evitare il ricorso alla struttura dei tassi impliciti (o dell’inflazione implicita), che costituirebbe comunque una stima di mercato del parametro di indicizzazione, per semplicità si assume spesso il tasso periodale di tutte le cedole future uguale a quello della cedola in corso, oppure di quella successiva (metodo della “cedola tendenziale”) non appena viene effettuata la rilevazione ufficiale del parametro di indicizzazione e viene quindi definito il tasso periodale relativo alla prossima cedola.

In ogni caso vale una considerazione importante: quando il calcolo della duration è finalizzato a individuare il rischio tassi, la durata finanziaria (che in questo caso prende il nome di “duration di mercato”) viene assunta uguale alla frazione di anno che separa uno stacco cedola dall’altro (es. 0,5 anni quando lo stacco cedola è semestrale), poiché la variabilità della cedola consente di evitare al prezzo buona parte dei movimenti dovuti alle variazioni dei tassi e dei rendimenti.

Quando la duration, invece, è finalizzata a misurare la reattività del prezzo verso altri fattori di rischio, per esempio rischio di credito, allora la duration del titolo a tasso variabile (che in questo caso prende il nome di “spread duration”) viene calcolata come nei titoli a tasso fisso, assumendo la cedola tendenziale uguale a tutte quelle future: in questi casi, infatti, le due tipologie si comporteranno allo stesso modo.

Duration e modified duration hanno invece invece una valenza scarsa o nulla per quanto riguarda i titoli strutturati.

9. Come si costruisce la curva dei rendimenti?

La notevole valenza operativa della modified duration è semplice da immaginare. Ma quella della duration? Lo sarebbe se si sostituisse il concetto di vita residua, menzionato fin qui per semplicità quando l’ottica è quello del raffronto con altri bond paragonabili per emittente, valuta, seniority e, appunto, per scadenza, intesa come vita residua: quest’ultima accezione è impropria e va sostituita con la duration per evitare di incorrere in errori di valutazione.

La duration, infatti, è la variabile che in tutto il mondo si trova esposta in modo crescente (da sinistra a destra) sull’asse delle ascisse, cioè quello orizzontale destinato alle variabili indipendenti, nel grafico della curva dei rendimenti; mentre il rendimento, cioè la variabile dipendente, si trova come d’uso sull’asse delle ordinate, cioè quello verticale. Perché la curva dei rendimenti è così importante? Perché indica istantaneamente il rendimento richiesto dal mercato per ogni livello di duration, nella certezza che quest’ultima, trasformandoli tutti in bond zero coupon (per i quali, non a caso, la duration coincide con la vita residua), sia rappresentativa della durata finanziaria di ogni bond.

Ogni Paese ha la sua curva dei rendimenti e quella dei titoli di stato, o comunque delle obbligazioni governative denominate nella valuta domestica, viene definita curva base perché lo Stato è di solito l’emittente più robusto del Paese, mentre tutti gli altri emittenti domestici (cioè le società che emettono corporate bond) avranno una certa dose di rischio aggiuntivo a titolo di rischio di credito (in base ai rating) e di rischio liquidità (in base al livello di scambi che si potrà stimare alla luce dell’ammontare emesso e in base al rating).

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Esempio: la curva dei rendimenti italiana è costituita dai rendimenti di mercato di Bot e Btp (cioè dei titoli di stato a tasso fisso o zero coupon, che restituiscono flussi monetari certi) associati ai rispettivi livelli di duration. Più in generale:

• La curva viene costruita per “nodi”, in funzione delle duration di 3, 6 e 12 mesi, proseguendo poi, sempre verso destra, con 2,3, 5, 7, 10, 15, 20, 30 e 50 anni, laddove ci sia almeno un titolo quotato in riferimento ai raggruppamenti con duration più lunghe. I nodi più importanti sono i rendimenti associati alle duration di 1, 3, 5 e 10 anni, nonché quella di 6 mesi.
• Ciascun titolo di stato quotato sul mercato (cioè tutti quelli non ancora giunti a scadenza) viene incasellato in uno di questi 12 raggruppamenti (in statistica “cluster”) che più lo rappresenta in termini di duration (attraverso un arrotondamento che ne elimini i decimali, per esempio, magari scartando i titoli la cui duration disti più di una determinata percentuale dal nodo).
• Infine, per ognuno dei 12 raggruppamenti viene individuato il rendimento di mercato più significativo in termini di rappresentanza del raggruppamento stesso (per esempio il rendimento medio dei bond inclusi, ponderato per l’ammontare emesso e/o per volume di scambi sul mercato).

A questo punto, unendo con una linea tutte le coppie di valori tra di loro (i “nodi”, appunto), è possibile tracciare la curva dei rendimenti di base.

10. Cosa provoca cambiamenti nella curva dei rendimenti?

La politica monetaria sui tassi d’interesse condotta dalla banca centrale che emette la valuta e le attese d’inflazione sulla stessa valuta sono le due variabili finanziarie che agiscono sulla curva dei rendimenti: la prima sulla parte di più breve termine, cioè sulle duration entro un anno o al massimo due; la seconda su tutte le altre duration, in particolare da cinque anni di duration in avanti, visto che i rendimenti a media e lunga scadenza tendono a remunerare sempre di più non solo la svalutazione del capitale dovuta all’inflazione, ma anche le relative attese. Entrambe dipendono, a loro volta, dal contesto e dalle aspettative economiche del Paese.

Queste variabili, infatti, agiscono quasi sempre in modo differenziato sui vari tratti della curva dei rendimenti. Questo fa sì che la curva si muova, verso l'alto o verso il basso e cambi forma e inclinazione. Per esempio, se la Banca centrale europea decide di adottare una forte politica antinflazionistica manterrà i tassi di interesse a breve termine molto elevati e con essi i rendimenti di mercato nel tratto a breve termine della curva, cioé con le duration più corte. In tal modo, riuscirà a comprimere verso il basso le aspettative sul futuro andamento dell'inflazione. Riducendo l'inflazione attesa si ridurrà una delle componenti dei rendimenti nel tratto a medio e soprattutto a lungo termine della curva, che a loro volta si ridurranno. In questo esempio si assisterà a una rotazione della curva dei rendimenti, che cambierà inclinazione verso una forma più piatta o addirittura invertita rispetto all’andamento crescente dei rendimenti all’aumentare della duration, che rappresenta la normalità in un’economia che avanza in modo sostenibile (cioè a un ritmo del 2% annuo di progressione del pil, o poco più).

La teoria economica tradizionale associa le diverse possibili forme (“inclinazioni”) della curva dei rendimenti con diversi stati ciclici dell'economia. In una situazione di espansione la curva è inclinata positivamente: le aspettative di crescita sono buone, la domanda dei consumatori si mantiene sostenuta, il premio al rischio e l'inflazione attesa al rialzo fanno sì che i rendimenti a lungo termine siano più elevati di quelli a breve. Quando le prospettive dell'economia rallentano, insieme alla domanda di consumi si smorza anche l'inflazione attesa; le imprese, molto più restie a fare nuovi investimenti, richiedono meno capitali e così la curva dei rendimenti a poco a poco si appiattisce, fino ad assumere una inclinazione negativa nel caso si inserisca la possibilità che l’economia scivoli in recessione.

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11. La curva base dei rendimenti è per Paese o per valuta?

La curva dei rendimenti di base ha molteplici utilizzi: il più immediato è la valutazione di appetibilità di singoli bond (di pari valuta) in funzione della relativa duration, osservando come si posiziona il relativo rendimento rispetto a quello di mercato espresso dalla curva per analoga duration.

Un Paese può avere curve base riferite anche ad altre valute oltre a quella nazionale, se il numero di emissioni governative in valuta è tale da consentirlo, e per alcuni paesi emergenti o in via di sviluppo la curva in dollari è stata assunta come quella di riferimento.

La regola vorrebbe l’esistenza di una curva dei rendimenti per ogni valuta piuttosto che per ogni Paese, dal momento che ogni Stato ha la propria valuta nazionale. Tuttavia ci sono importanti eccezioni:

• I paesi emergenti, o meglio in via di sviluppo, che non riescono a collocare titoli governativi denominati nella valuta domestica si trovano costretti a emettere debito in una valuta forte per eliminare la perplessità degli investitori dovuta a un rischio di cambio di difficile valutazione, ma certamente molto elevato. Per questi paesi la curva base dei rendimenti diventa quella della valuta forte con cui si finanziano, che sarà caratterizzata da rendimenti per ogni duration certamente più elevati rispetto a quelli dello Stato che emette la valuta forte, in misura tanto maggiore quanto più alto è il rischio di credito del Paese che ne ha mutuato la valuta di debito.
• L’euro è la valuta nazionale adottata da numerosi paesi che hanno standing di credito (rating) molto differenti: ciò comporta che, di fatto, la moneta unica abbia tante curve base (nazionali) quanti sono i paesi dell’Eurozona. Inevitabilmente, queste vengono valutate in ogni momento, cioè confrontate, con la curva base riferita al Paese di standing creditizio più elevato, cioè la Germania, e la sua curva base sarà quindi caratterizzata dai rapporti rendimento/duration più bassi.

12. Perché ci sono così tante curve dei rendimenti?

Perché il confronto e la valutazione delle obbligazioni, in termini di rendimento per analoga duration, vanno effettuati nell’ambito di una stessa valuta e di un analogo livello di merito di credito (rating). Dunque, oltre alle curve base dei rendimenti riferite ai vari paesi in termini di relativi titoli di stato, esistono tante altre curve che dettagliano il vastissimo insieme dei corporate bond: di fatto, esiste una curva dei rendimenti di corporate bond per ciascun livello di rating e ognuna di queste curve viene declinata sulle principali valute di emissione utilizzate dalle società di tutto il mondo per emettere debito in forma obbligazionaria (dollaro Usa, euro e sterlina GB sono le più battute). Non solo: esiste infatti un terzo fattore di raffronto dei corporate bond, che corrisponde al settore economico in cui opera la società emittente.

Esempio: se si intendesse appurare la congruità di un rendimento per scadenza a cinque anni di un bond in dollari Usa emesso da una società di telecomunicazioni norvegese a cui è stato attribuito un rating di tripla B, sarebbe opportuno basare la valutazione sulla curva dei rendimenti in dollari Usa degli emittenti del settore telecomunicazioni con rating tripla B (cioè, BBB+, BBB o BBB-). Lo stesso vale per il settore auto, per quello energetico, per le utility e soprattutto per le banche, che sono gli emittenti più attivi.

Valuta e rating sono infatti i fattori che incidono direttamente sul rendimento, nel primo caso in termini di specifica curva base e nel secondo in termini di premio al rischio di credito. Mentre il settore economico dell’emittente è utile per valutare meglio quest’ultima componente di rischio dell’obbligazione: infatti, un conto è un rating tripla B riferito a un emittente del settore auto o tech, un altro conto è lo stesso rating riferito a un emittente bancario o a una utility, in cui il rischio di credito misurato dal rating può essere considerato in misura un po’ più blanda.

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13. Cos’è la convexity?

La duration di un titolo obbligazionario non è costante, poiché varia, per esempio, al variare del rendimento del titolo stesso. In particolare, la variazione della duration è in relazione inversa con le variazioni dei lassi. Se i tassi di interesse salgono la duration di un titolo obbligazionario tenderà a ridursi e viceversa. La misura della variazione della duration per una data variazione dei tassi di interesse è una caratteristica specifica di ogni titolo obbligazionario e si definisce “convessità”.

Grazie all'effetto convessità la reazione di un titolo obbligazionario ad aumenti dei lassi di interesse sarà inferiore (in senso assoluto) alla misura della reazione che il titolo obbligazionario avrà a fronte di riduzioni dei tassi di pari importo. Quindi, a parità di variazioni dei tassi di interesse, un titolo obbligazionario convesso salirà di prezzo quando i tassi scendono in misura maggiore di quanto scenderà di prezzo quando i tassi salgono. A parità di duration, di rendimento e di altre caratteristiche (qualità dell'emittente, liquidabilità) sarà sempre meglio optare per i titoli che presentano il massimo livello di convessità.

In generale, esiste una specifica relazione tra convessità e duration:

C = D + D² + M

dove:

• C = convessità;
• D = duration;
• M = dispersione dei flussi intorno alla duration (in termini di standard deviation).

Infatti, i titoli che, a parità di duration, hanno la maggior dispersione dei flussi di cassa nel futuro sono quelli con la maggior convessità. Inoltre, a parità di duration e rendimento, un bond con cedole più elevate avrà una convessità maggiore di un titolo con cedole inferiori.

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